Quando si esegue il test di Ronchi, spesso ci si trova ad avere a che fare con delle figure delle linee d’ombra che possono essere diverse da quelle che vengono presentate solitamente per spiegare i difetti più comuni nelle lavorazioni ottiche. Ecco che serve un metodo generale in grado di spiegare l’andamento di una qualsiasi linea d’ombra, ed è quello che verrà spiegato in questo post. Sicuramente questo test è il più semplice e intuitivo e riesce a rendere l’idea in un solo colpo d’occhio della forma qualitativa dell’intero specchio, però è anche vero che fino a che viene usato per verificare la forma sferica può essere di grande aiuto, in quanto valutare anche ad occhio delle linee dritte non è così difficile, mentre se si deve valutare una parabola o altro può essere sempre di aiuto, ma più che altro come appoggio ad altri test. Quindi verrà spiegato come valutare gli errori evidenziati dalla distorsione delle righe riferiti però ad una sfera. Per fare questo sarà spiegato il metodo esposto da MALACARA nel 1965 e che potete trovare a pag 335-336 del libro “Optical shop testing” .
Prima di procedere oltre, sono necessari alcuni richiami sul significato geometrico della derivata: La derivata altro non è che il valore della pendenza della retta tangente calcolata in un determinato punto di una curva o per meglio dire di una funzione f(x).
La derivata quindi può essere sia positiva che negativa, positiva quando la retta tangente è crescente (quindi il profilo della funzione f(x) sta salendo), negativa quando la retta tangente è decrescente (quindi anche il profilo della funzione f(x) sarà decrescente).
Per analogia si può pensare che il valore della tangente è come la pendenza in una salita (positiva se si sale, negativa se si scende, pari a zero se si è in piano o se si è sul cucuzzolo di una montagna o sul fondo di una valle). Questo ci serve perché andremo a calcolare il valore la funzione derivata dell’errore esistente tra superficie analizzata e sfera perfetta e dovremo risalire al valore della funzione f(x), che per noi rappresenta l’errore o la differenza esistente tra la superficie analizzata e la superficie di una sfera perfetta.
Il metodo consiste nel valutare le linee del test rispetto ad una linea verticale di riferimento (che rappresenta una sfera perfetta) e osservare quando questa linea sta a destra o a sinistra della linea verticale. Quando la linea osservata è a destra di quella verticale significa che la derivata dell’errore è positiva, mentre se è a sinistra la derivata è negativa. Se invece si trova esattamente sopra a quella verticale la derivata è uguale a zero. Più ci si discosta dalla linea verticale e più grande sarà il valore assunto dalla derivata in quel punto. N:B: questo vale se stiamo analizzando la metà destra dello specchio, perché se analizziamo la metà sinistra si inverte quello che ho detto. La derivata è positiva a sinistra e negativa a destra della linea di riferimento.
Per poter chiarire maggiormente la relazione esistente tra derivata della funzione errore e funzione errore, verranno presentati e descritti due esempi:
Nell’ immagine è rappresentata in nero la funzione errore (o la deviazione rispetto ad una sfera), mentre in blu la funzione derivata (derivata della funzione errore). Nell’ esempio sopra si vede come ad un certo punto la curva nera si scosti da zero (punto A) e cominci a crescere fino a raggiungere un massimo (punto C), per poi mantenersi costante. La funzione derivata invece vale zero fino ad “A” poi comincia a crescere fino a raggiungere un massimo (punto B) e poi ridecresce fino a zero nel punto C. Si può pensare di interpretarla anche così, durante una salita la pendenza della strada comincia a salire gradualmente fino a raggiungere il massimo della pendenza a circa metà strada dalla vetta e poi la pendenza diventa via via più dolce fino ad arrivare alla vetta, dove la pendenza vale praticamente zero.
Nella seconda il principio è lo stesso, però dopo il punto “C” l’errore scende e si riporta a zero nel punto E” (da li in poi abbiamo ancora una sfera perfetta). La derivata in quel tratto diventa negativa (perché la funzione errore sta scendendo), assume il valore max (negativo) a circa metà strada della discesa e poi ritorna verso zero perché diciamo che la discesa “spiana” verso la fine e quindi la pendenza va via via diminuendo. Questo passaggio è fondamentale perché ricaveremo la funzione in blu e poi dovremo risalire a quella nera (matematicamente questo passaggio si risolve integrando la funzione derivata, ma se sono chiari i concetti riportati sopra si può fare il tutto a mente)…
Ritornando al metodo suggerito da Malacara vediamo insieme un esempio pratico che forse meglio spiega più di tanti esempi teorici… Supponiamo che le linee del Ronchi si presentino così: cosa vuol dire? Metto una riga sola, a noi basta quella e solo del quadrante in alto a dx:
Il metodo dice di confrontare la riga del test con una di riferimento…Come linea di riferimento prendiamo una linea dritta che rappresenta una sfera e quindi calcoleremo quando la superficie analizzata si discosta da una sfera…Nell’ esempio di test possiamo notare come fino al raggio “Ra” lo specchio è già sferico, mentre i problemi si presentano dal raggio “Ra” in poi. Visto che abbiamo già una parte di specchio sferico vediamo come si discosta il resto della superficie da quella sfera, ecco che la linea di riferimento verticale (quella verde) la metto in modo che coincida con il tratto verticale in blu. Molto spesso si pensa che dal raggio “Rb” in poi il profilo della superficie stia scendendo, e dico questo perché in tutti i tutorial che descrivono gli errori più comuni, nella descrizione del bordo ribattuto, viene mostrata una figura con le linee che verso il bordo tendono a rientrare e questo porta generalmente a un pò di incomprensioni. Quanto riportato nei tutorial o nelle guide è assolutamente corretto, in quanto prima che le linee si deformino si ha sfera perfetta con le linee perfettamente dritte, cosa che in questo esempio invece non succede (o meglio succede in parte), quindi bisogna osservare la figura in modo globale e non solo a livello locale. Come ora vedremo il bordo non comincia a ribattersi da “Rb”, ma da “Rc” in poi…
Fino al punto “a” la linea del Ronchi è esattamente sopra alla linea verticale di riferimento, pertanto qui c’è sfera perfetta e quindi l’errore da essa è pari a zero. Poi spostandosi verso il bordo la linea si allontana sempre di più dalla verticale di riferimento e verso destra, questo significa che la derivata dell’errore sarà positiva e crescente fino al punto “b”. Dal punto “b” fino al “c” la linea del Ronchi è ancora a destra, ma diminuisce la sua distanza da quella verticale, questo significa che la derivata è ancora positiva, ma diminuisce di valore fino ad azzerarsi in “c”. il fatto che in questo tratto la derivata sia ancora positiva, anche se diminuisce il suo valore significa che il profilo dell’errore sta ancora crescendo anche se sempre meno ripidamente, e non che si sta ribattendo ! Dal punto “c” fino al bordo, invece, si che l’errore diminuisce perchè qui la linea del Ronchi è passata a sinistra di quella verticale e quindi qui la derivata diventa negativa e il profilo di conseguenza scende. Sempre nella foto, sotto in nero, è stato rappresentato come si presenta il profilo dell’errore rispetto alla sfera.
Gli elementi fin qui esposti sono sufficienti ad una comprensione generale del problema e per spiegare bene qualunque sia la forma delle linee che vedrete apparire durante il test, ma per una trattazione più rigorosa, necessaria se qualcuno ha intenzione di elaborarsi un piccolo software per automatizzare il processo o per una comprensione profonda del metodo di Malacara, saranno di seguito riportate le foto delle due pagine tratte dal libro “OPTICAL SHOP TESTING” da cui sono state tratte le informazioni per scrivere questo post.
